已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=
12
,且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1]
(n=1,2,3,…)
(1)求a3,a4,a5,a6的值及數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=a2n-1•a2n,記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求證Tn<3.
分析:(1)分別令n=1,2,3,4可求得a3,a4,a5,a6的值,分類討論,可得數(shù)列{an}的通項公式;
(2)確定數(shù)列{bn}的通項,利用錯位相減法求數(shù)列的和,即可證得結論.
解答:(1)解:分別令n=1,2,3,4可求得:a3=3,a4=
1
4
a5=5,a6=
1
8

當n為奇數(shù)時,不妨設n=2m-1,m∈N*,則a2m+1-a2m-1=2.
∴{a2m-1}為等差數(shù)列,∴a2m-1=1+(m-1)•2=2m-1
即am=n.
當n為偶數(shù)時,設n=2m,m∈N*,則a2m+2-a2m=0.
∴{a2m}為等比數(shù)列,a2m=
1
2
•(
1
2
)m-1=
1
2m
,
an=(
1
2
)
n
2

綜上所述,an=
n,(n為奇)
(
1
2
)
n
2
,(n為偶數(shù))
;
(2)證明:bn=a2n-1•a2n=(2n-1)•
1
2n

∴Tn=1×
1
2
+3×
1
22
+…+(2n-1)•
1
2n

1
2
Tn=1×
1
22
+3×
1
23
+…+(2n-3)•
1
2n
+(2n-1)•
1
2n+1

兩式相減可得
1
2
Tn=
1
2
+2(
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
)-(2n-1)•
1
2n+1
=
3
2
-
2n+3
2n+1

∴Tn=3-
2n+3
2n

∴Tn<3.
點評:本題考查數(shù)列的通項與求和,考查錯位相減法的運用,考查學生分析解決問題的能力,確定數(shù)列的通項是關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項公式
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an;
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1

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