Question

若直線x=

π

4

被曲線C：（x-arcsina）（x-arccosa）+（y-arcsina）（y+arccosa）=0所截的弦長(zhǎng)為d，當(dāng)a變化時(shí)d的最小值是（　�。�

• A．

  π

  4

• B．

  π

  3

• C．

  π

  2

• D．π

Answer 1

分析：將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心到直線的距離，進(jìn)而可計(jì)算弦長(zhǎng)，再利用配方法，即可求得結(jié)論．

解答：解：曲線C：（x-arcsina）（x-arccosa）+（y-arcsina）（y+arccosa）=0可化為（x-

arcsina+arccosa

2

）²+（y-

arcsina-arccosa

2

）²=

(arcsina)2+(arccosa)2

2

∴圓心到直線的距離為|

arcsina+arccosa

2

-

π

4

|
∴

1

4

d²=

(arcsina)2+(arccosa)2

2

-（

arcsina+arccosa

2

-

π

4

）²=（

arcsina-arccosa

2

）²+

π

2

×

arcsina+arccosa

2

-

π2

16

設(shè)arcsina=α，則arccosa=

π

2

-α，
∴

1

4

d²=（α-

π

4

）²+

π2

16

∴α=

π

4

時(shí)，

1

4

d²取得最小值

π2

16

∴當(dāng)a變化時(shí)d的最小值是

π

2

故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．