Question

如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜邊AB=4．Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C是直二面角．動點(diǎn)D在斜邊AB上．
（I）求證：平面COD⊥平面AOB；
（II）當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AO與CD所成角的余弦值大�。�
（III）求CD與平面AOB所成角最大時(shí)的正切值大�。�

Answer 1

（I）由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵二面角B-AO-C是直二面角，
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB，
又CO?平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB．（4分）
（II）解法一：作DE⊥OB，垂足為E，連接CE（如圖），則DE∥AO，
∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角．
在 Rt△COE中，CO=BO=2，OE=

1

2

BO=1，
∴CE=

CO2+OE2

=

5

．
又DE=

1

2

AO=

3

．
∴CD=

CE2+DE2

=2

2

∴在Rt△CDE中，cos∠CDE=

DE

CD

=

3

2 2

=

6

4

．
∴異面直線AO與CD所成角的余弦值大小為

6

4

．（9分）



解法二：建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖，
則O（0，0，0），A(0，0，2

3

)，C（2，0，0），D(0，1，

3

)，
∴

OA

=(0，0，2

3

)，

CD

=(-2，1，

3

)，
∴cos＜

OA

，

CD

＞=

OA • CD

| OA |•| CD |

=

6

2 3 •2 2

=

6

4

．
∴異面直線AO與CD所成角的余弦值為

6

4

．（9分）
（III）由（I）知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角，
且tanCDO=

OC

OD

=

2

OD

．當(dāng)OD最小時(shí)，∠CDO最大，這時(shí)，OD⊥AB，垂足為D，OD=

OA•OB

AB

=

3

，tanCDO=

2 3

3

，
∴CD與平面AOB所成角的最大時(shí)的正切值為

2 3

3

．（14分）