4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l與橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)相切于點P,過橢圓的左、右焦點F1,F(xiàn)2分別作F1M,F(xiàn)2N重直于直線l于M,N,記μ=$\frac{{N{F_2}}}{{M{F_1}}}$,當(dāng)P為左頂點時,μ=9,且當(dāng)μ=1時,四邊形MF1F2N的周長為22.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求證:MF1•NF2為定值.

分析 (1)由直線l與x軸垂直時,μ=9,可得a+c=9(a-c),即$a=\frac{5}{4}c,b=\frac{3}{4}c$.當(dāng)μ=1時,P為短軸端點,此時MF1=NF2=b,MN=F1F2=2c,可得2(b+2c)=22,代入解出即可得出.
(2)對直線l的斜率分類討論,利用直線與橢圓相切的充要條件、根與系數(shù)的關(guān)系、點到直線的距離公式即可得出.

解答 (1)解:∵直線l與x軸垂直時,μ=9,
即a+c=9(a-c),易得$a=\frac{5}{4}c,b=\frac{3}{4}c$.
當(dāng)μ=1時,P為短軸端點,此時MF1=NF2=b,MN=F1F2=2c,
根據(jù)題意,2(b+2c)=22,
解得a=5,b=3,c=4,
故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.
(2)證明:當(dāng)直線l斜率不存在時,NF2•MF1=(a-c)•(a+c)=9,
當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx+m,帶入橢圓方程,可得:$\frac{x^2}{25}+\frac{{{{(kx+m)}^2}}}{9}=1$,整理得(25k2+9)x2+50kmx+25m2-225=0,
∵直線與橢圓相切,∴判別式為零,即△=0,化簡可得m2=25k2+9,
可得$M{F_1}=\frac{{|{4k-m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$,$N{F_2}=\frac{{|{4k+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$,
則$N{F_2}•M{F_1}=\frac{{|{16{k^2}-{m^2}}|}}{{{k^2}+1}}=\frac{{25{k^2}+9-16{k^2}}}{{{k^2}+1}}=9$.
綜上可得:NF2•MF1為定值9.

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切的充要條件、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、點到直線的距離公式,考查了分類討論方法、推理能力與計算能力,屬于難題.

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