Question

【題目】已知圓：，圓與圓關于直線：對稱.

（1）求圓的方程；

（2）過直線上的點分別作斜率為，4的兩條直線，，使得被圓截得的弦長與被圓截得的弦長相等.

（i）求點的坐標；

（ii）過點任作兩條互相垂直的直線分別與兩圓相交，判斷所得弦長是否恒相等，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) （i）.（ii）恒相等.見解析

【解析】

(1)根據(jù)軸對稱求得圓的圓心即可.

(2)由題,兩問均可設與過點任作兩條互相垂直的直線分別為,再由題意得到的距離與到的距離相等,列式求解與證明即可.

（1）設，因為圓與圓關于直線：對稱，，

則直線與直線垂直，中點在直線上，得，

解得，所以圓：.

（2）（i）設，的方程為，即；

的方程為，即.

因為被圓截得的弦長與被圓截得的弦長相等，且兩圓半徑相等，

所以到的距離與到的距離相等，即，

所以或.

由題意，到直線的距離，

所以不滿足題意，舍去，

故，點坐標為.

（ii）過點任作互相垂直的兩條直線分別與兩圓相交，所得弦長恒相等.

證明如下：

當的斜率等于0時，的斜率不存在，被圓截得的弦長與被圓截得的弦長都等于圓的直徑；

當的斜率不存在，的斜率等于0時，與圓不相交，與圓不相交.

當、的斜率存在且都不等于0，兩條直線分別與兩圓相交時，設、的方程分別為

，，即，.

因為到的距離，

到的距離，所以到的距離與到的距離相等.

因為圓與圓的半徑相等，所以被圓截得的弦長與被圓截得的弦長恒相等.

綜上所述，過點任作互相垂直的兩條直線分別與兩圓相交，所得弦長恒相等.