Question

已知橢圓．F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C的左，右焦點(diǎn)，A₁，A₂分別為橢圓C的左，右頂點(diǎn)．過右焦點(diǎn)F₂且垂直于x軸的直線與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為M．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l：x=my+1與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線A₁P與A₂Q交于點(diǎn)S．當(dāng)直線l變化時，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，求此定直線方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)過右焦點(diǎn)F₂且垂直于x軸的直線與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為M，可得，求出a²=9，b²=a²-c²=6，從而可得橢圓C的方程；
（2）利用特殊位置猜想結(jié)論，再進(jìn)行一般性的證明．將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理可以證明．
解答：解：（1）∵過右焦點(diǎn)F₂且垂直于x軸的直線與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為M．
∴，b²=a²-c²=a²-3．
∵點(diǎn)在橢圓上，∴，
∴3a²-9+4a²=a⁴-3a²
∴a⁴-10a²+9=0，∴（a²-9）（a²-1）=0，
∴a²=9或a²=1＜c²（舍去）．
∴b²=a²-c²=6．
∴橢圓C的方程為．…（4分）
（2）當(dāng)l⊥x軸時，，，又A₁（-3，0），A₂（3，0）
，，聯(lián)立解得．
當(dāng)l過橢圓的上頂點(diǎn)時，，，，，聯(lián)立解得．
若定直線存在，則方程應(yīng)是x=9．…（8分）
下面給予證明．
把x=my+1代入橢圓方程，整理得（2m²+3）y²+4my-16=0，△＞0成立，記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，．
，
當(dāng)x=9時，縱坐標(biāo)y應(yīng)相等，，須
須2y₁（my₂-2）=y₂（my₁+4），須my₁y₂=4（y₁+y₂）
∵，．
∴成立．
綜上，定直線方程為x=9．…（14分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查探究性問題，解題的關(guān)鍵是利用特殊位置猜想結(jié)論，再進(jìn)行證明．