Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求在區(qū)間上的值域；

（2）若過(guò)點(diǎn)存在條直線與曲線相切，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)； (2) .

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求得極值點(diǎn)比較f（-2），，f（1）的大小即得結(jié)論；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程4，設(shè)g（x）=4x3-6x2+t+3，則“過(guò)點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切”，
等價(jià)于“g（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)”．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而得出函數(shù)的零點(diǎn)情況，得出結(jié)論；

（1）由得.

令,得或.

因?yàn)?/span>,,,,

所以在區(qū)間上的最大值為.

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn),

則,且切線斜率為,

所以切線方程為,

因此.

整理得.

設(shè),

則“過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切”等價(jià)于“有3個(gè)不同零點(diǎn)”.

.

與的變化情況如下:

		0		1
		0		0

所以, 是的極大值, 是的極小值.

當(dāng),即時(shí),

此時(shí)在區(qū)間和上分別至多有1個(gè)零點(diǎn),

所以至多有2個(gè)零點(diǎn).

當(dāng),即時(shí),

此時(shí)在區(qū)間和上分別至多有1個(gè)零點(diǎn),所以至多有個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)且,即時(shí),

因?yàn)?/span>,,

所以分別在區(qū)間,和上恰有1個(gè)零點(diǎn).

由于在區(qū)間和上單調(diào),

所以分別在區(qū)間和上恰有1個(gè)零點(diǎn).

綜上可知,當(dāng)過(guò)點(diǎn)存在條直線與曲線相切時(shí),的取值范圍是.