Question

如圖，橢圓的一個焦點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)（2，0）在橢圓C上，AB為垂直于x軸的動弦，直線l：x=4與x軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交于點(diǎn)M．
（I）求橢圓C的方程；
（II）求動點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)a=2，c=1，從而b²=a²-c²=3，即可得橢圓C的方程．
（Ⅱ）由題意得F（1，0），N（4，0）．設(shè)A（m，n），則B（m，-n）（n≠0），=1，由題意知AF與BN的方程分別為：n（x-1）-（m-1）y=0，n（x-4）-（m-4）y=0．由此入手能夠推出動點(diǎn)M的軌跡方程．
解答：解：
（Ⅰ）由題設(shè)a=2，c=1，從而b²=a²-c²=3，
所以橢圓C前方程為 ．
（Ⅱ）由題意得F（1，0），N（4，0）．
設(shè)A（m，n），則B（m，-n）（n≠0），=1．①
AF與BN的方程分別為：n（x-1）-（m-1）y=0，
n（x-4）-（m-4）y=0．
設(shè)M（x，y），則有n（x-1）-（m-1）y=0，②
n（x-4）+（m-4）y=0，③
由②，③得
x=
====1
所以動點(diǎn)M的軌跡方程為：．
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的軌跡問題等基本知識，解答的關(guān)鍵是直線交軌法的應(yīng)用．屬于中檔題．