Question

設(shè)集合A＝{x|x²＋4x＝0}，B＝{x|x²＋2(a＋1)x＋a²－1＝0，a∈R}．若A∩B＝B，求a的值．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：首先可以看到集合A中可以用列舉法表示出集合中的元素(其元素即是方程x2＋4x＝0的解)，然后根據(jù)集合間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)，A的元素和B中元素的關(guān)系．也就是說可以明確B的元素(即方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的根)，進而解出a的值． 　　解：首先化簡集合A，得A＝{－4，0}， 　　由A∩B＝B，則有BA，可知集合B或為或為{0}或為{－4}或為{0，－4}， 　　①若B＝時，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1． 　�、谌�0∈B，代入得a2－1＝0a＝1或a＝－1． 　　當(dāng)a＝1時，B＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}＝A，合題意； 　　當(dāng)a＝－1時，B＝{x|x2＝0}＝{0}A，也合題意． 　　③若－4∈B，代入得a2－8a＋7＝0a＝7或a＝1． 　　當(dāng)a＝1時，已討論，合題意； 　　當(dāng)a＝7時，B＝{x|x2＋16x＋48＝0}＝{－12，－4}，不合題意． 　　由①②③得，a＝1或a≤－1．

提示：

此題考查分類討論思想，以及集合間的關(guān)系的應(yīng)用．通過深刻理解集合表示法的轉(zhuǎn)換，及集合之間的關(guān)系，可以把相關(guān)問題化歸為解方程的問題．這稱為數(shù)學(xué)的化歸思想，是數(shù)學(xué)思想的常用方法，在高考中重點考查．