已知圓C的方程是：x2+y2=4，P是圓C上任意一點，過點P作PD⊥x軸于點D，M為PD的中點．
（1）求點M的軌跡E的方程；
（2）若直線l與軌跡E交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，已知數(shù)學(xué)公式，若數(shù)學(xué)公式．試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

解：（1）設(shè)M（x，y），則P（x，2y），代入圓C的方程是：x2+y2=4，可得：x2+4y2=4
即點M的軌跡方程為…（5分）
（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，x1=x2，y1=-y2，則由可得x1x2+4y1y2=0
即，而，由上兩式可解得，，
此時為定值；…（8分）
②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m
由消去y，并整理得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，
則△=64k2m2-4（4k2+1）（4m2-4）=16（1+4k2-m2），
，（Ⅰ）…（10分）
由可得x1x2+4y1y2=0，即x1x2+4（kx1+m）（kx2+m）=0
所以，
將（Ⅰ）代入得：，化簡可得：1+4k2=2m2
由弦長公式可得
由點到直線的距離公式可得原點O到直線AB的距離為
所以△AOB的面積為定值
綜上知，△AOB的面積總為定值1．…（13分）
分析：（1）確定M，P坐標之間的關(guān)系，利用相關(guān)點法可求點M的軌跡方程；
（2）分斜率存在與不存在，同時借助于韋達定理，利用向量垂直，分別表示三角形的面積，即可求得結(jié)論．
點評：本題考查軌跡方程，考查三角形面積的計算，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C的方程是（x-1）2+（y-1）2=4，直線l的方程為y=x+m，求：當(dāng)m為何值時
（1）直線平分圓；
（2）直線與圓相切；
（3）直線與圓有兩個公共點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C的方程是（x-2）2+（y+3）2=1，則與圓C關(guān)于直線x+y=0對稱的圓的方程為
（x-3）2+（y-2）2=1
（x-3）2+（y-2）2=1
．

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（2013•寶山區(qū)二模）已知點A（1，0），P1、P2、P3是平面直角坐標系上的三點，且|AP1|、|AP2|、|AP3|成等差數(shù)列，公差為d，d≠0．
（1）若P1坐標為（1，-1），d=2，點P3在直線3x-y-18=0上時，求點P3的坐標；
（2）已知圓C的方程是（x-3）2+（y-3）2=r2（r＞0），過點A的直線交圓于P1、P3兩點，P2是圓C上另外一點，求實數(shù)d的取值范圍；
（3）若P1、P2、P3都在拋物線y2=4x上，點P2的橫坐標為3，求證：線段P1P3的垂直平分線與x軸的交點為一定點，并求該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓C的方程是（x-1）2+（y-1）2=4，直線l的方程為y=x+m，求：當(dāng)m為何值時
（1）直線平分圓；
（2）直線與圓相切；
（3）直線與圓有兩個公共點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年上海市靜安、楊浦、青浦、寶山區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知點A（1，0），P1、P2、P3是平面直角坐標系上的三點，且|AP1|、|AP2|、|AP3|成等差數(shù)列，公差為d，d≠0．
（1）若P1坐標為（1，-1），d=2，點P3在直線3x-y-18=0上時，求點P3的坐標；
（2）已知圓C的方程是（x-3）2+（y-3）2=r2（r＞0），過點A的直線交圓于P1、P3兩點，P2是圓C上另外一點，求實數(shù)d的取值范圍；
（3）若P1、P2、P3都在拋物線y2=4x上，點P2的橫坐標為3，求證：線段P1P3的垂直平分線與x軸的交點為一定點，并求該定點的坐標．

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