Question

如圖，在邊長(zhǎng)為10的正三角形紙片ABC的邊AB，AC上分別取D，E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊三角形紙片后，頂點(diǎn)A正好落在邊BC上（設(shè)為P），在這種情況下，求AD的最小值．

Answer 1

【答案】分析：在圖（2）中連接DP，由折疊可知AD=PD，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠BAP=∠APD，又∠BDP為三角形ADP的外角，若設(shè)∠BAP為θ，則有∠BDP為2θ，再設(shè)AD=PD=x，由AB=AD+DB=BD+DP=10，可知BD為10-x，在等邊三角形ABC中，∠ABP為60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠APB=180°-∠ABP-∠BAP，用θ表示出∠APB為120°-θ，進(jìn)而表示出∠DPB為120°-2θ，在三角形BDP中，由表示出的BD，DP，以及sin∠BDP，sin∠DBP，利用正弦定理列出關(guān)于x的方程，表示出x，根據(jù)θ的范圍，得出120°-2θ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出正弦函數(shù)的最大值，進(jìn)而得出x的最小值，即為AD的最小值．
解答：
解：顯然A，P兩點(diǎn)關(guān)于折線DE對(duì)稱，
連接DP，圖（2）中，可得AD=PD，則有∠BAP=∠APD，
設(shè)∠BAP=θ，∠BDP=∠BAP+∠APD=2θ，
再設(shè)AD=DP=x，則有DB=10-x，
在△ABC中，∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ，
∴∠BPD=120°-2θ，又∠DBP=60°，
在△BDP中，由正弦定理知=，
即=，
∴x=，
∵0°≤θ≤60°，
∴0°≤120°-2θ≤120°，
∴當(dāng)120°-2θ=90°，即θ=15°時(shí)，sin（120°-2θ）=1．
此時(shí)x取得最小值=-30，且∠ADE=75°．
則AD的最小值為-30．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，正弦定理，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．