Question

19．某品牌新款夏裝即將上市，為了對(duì)夏裝進(jìn)行合理定價(jià)，在該地區(qū)的三家連鎖店各進(jìn)行了兩天試銷售，得到如下數(shù)據(jù)：

連鎖店	A店		B店		C店
售價(jià)x（元）	80	86	82	88	84	90
銷售量y（件）	88	78	85	75	82	66

（1）以三家連鎖店分別的平均售價(jià)和平均銷量為散點(diǎn)，求出售價(jià)與銷量的回歸直線方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（2）在大量投入市場后，銷售量與單價(jià)仍然服從（1）中的關(guān)系，且該夏裝成本價(jià)為40元/件，為使該款夏裝在銷售上獲得最大利潤，該款夏裝的單價(jià)應(yīng)定為多少元（保留整數(shù)）？$\left\{\begin{array}{l}\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}（{{y_i}-\overline y}）}}{{{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}}^2}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline{xy}}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}\\ \widehata=\overline y-\widehatb\overline x\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）先求出三家連鎖店的平均年售價(jià)和平均銷量，根據(jù)回歸系數(shù)公式計(jì)算回歸系數(shù)，得出回歸方程．
（2）設(shè)定價(jià)為x，得出利潤關(guān)于x的函數(shù)f（x），利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的極大值點(diǎn)．

解答 解：（1）三家連鎖店的平均售價(jià)和銷售量分別為A（83，83），B（85，80），C（87，74）．
∴$\overline{x}$=$\frac{83+85+87}{3}$=85，$\overline{y}$=$\frac{83+80+74}{3}$=79．
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{-2×4+0×1+2×（-5）}{4+0+4}$=-2.25，$\stackrel{∧}{a}$=79-（-2.25）×85=270.25．
∴售價(jià)與銷量的回歸直線方程為$\stackrel{∧}{y}$=-2.25x+270.25．
（2）設(shè)定價(jià)為x元，則利潤為f（x）=（x-40）（-2.25x+270.25）=-2.25x²+360.25x-10810．
∴當(dāng)x=$\frac{360.25}{4.5}$≈80時(shí)，f（x）取得最大值，即利潤最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的求解，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．