【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面，已知，，，點是棱的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在一點，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在,或.

【解析】

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證得平面.

（2）以為原點，分別以，和的方向為，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解；

（3）假設(shè)存在點，設(shè)，根據(jù)，得到的坐標，結(jié)合平面的法向量為列出方程，即可求解.

（1）由題意，因為，，，∴，

又∴，∴，

∵側(cè)面，∴.

又∵，，平面

∴直線平面.

（2）以為原點，分別以，和的方向為，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

則有，，，，

設(shè)平面的一個法向量為

，

∵，∴，令，則，∴

設(shè)平面的一個法向量為，，，

∵，∴，令，則，∴，

，，，∴.

設(shè)二面角為，則.

∴設(shè)二面角的余弦值為.

（3）假設(shè)存在點，設(shè)，∵，，

∴，∴∴

設(shè)平面的一個法向量為，

∴，得.

即，∴或，∴或.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，其中，同時滿足：

①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)：②當定義域為時，的值域為，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，區(qū)間稱為“保值函數(shù)”.

（1）求證：函數(shù)不是定義域上的“保值函數(shù)”；

（2）若函數(shù)（）是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，求的取值范圍；

（3）對（2）中函數(shù)，若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點O為極，z軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

(Ⅰ)求曲線C的普通方程和直線的直角坐標方程；

(Ⅱ)設(shè)點．若直線與曲線C相交于A，B兩點，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率，且圓過橢圓的上，下頂點.

（1）求橢圓的方程.

（2）若直線的斜率為，且直線交橢圓于、兩點，點關(guān)于點的對稱點為，點是橢圓上一點，判斷直線與的斜率之和是否為定值，如果是，請求出此定值：如果不是，請說明理.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，平行四邊形中，，，為邊的中點，沿將折起使得平面平面.

（1）求證：平面平面；

（2）求四棱錐的體積；

（3）求折后直線與平面所成的角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的組合體中，三棱柱的側(cè)面是圓柱的軸截面，是圓柱底面圓周上不與重合的一個點．

（1）若圓柱的軸截面是正方形，當點是弧的中點時，求異面直線與的所成角的大��；

（2）當點是弧的中點時，求四棱錐與圓柱的體積比．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的兩個焦點為,,焦距為,直線:與橢圓相交于,兩點,為弦的中點.

（1）求橢圓的標準方程;

（2）若直線:與橢圓相交于不同的兩點,,,若（為坐標原點）,求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線與拋物線：交于，兩點，且的面積為16（為坐標原點）.

（1）求的方程.

（2）直線經(jīng)過的焦點且不與軸垂直，與交于，兩點，若線段的垂直平分線與軸交于點，試問在軸上是否存在點，使為定值？若存在，求該定值及的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示,四棱錐的底面是直角梯形，平面，,為中點，且.

（1）求證：平面；

（2）若與底面所成角為，求二面角的余弦值.

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