Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）極值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）極值；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），…（1分）
當(dāng)a=-2時(shí)，f′（x）=$\frac{1-4{x}^{2}}{x}$，…（3分）

x	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）		極大值

函數(shù)的極大值是f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$-ln2，無(wú)極小值…．（6分）
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{（ax-1）（2x-1）}{x}$，…（8分）
①當(dāng)a≤0時(shí)，

x	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）		極大值

…（9分）
②當(dāng)0＜a＜2時(shí)，

x	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大值		極小值

…..（10分）
③當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）=$\frac{（2x-1）^{2}}{x}$≥0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)f′（x）=0
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）．…（11分）
④當(dāng)a＞2時(shí)

x	（0，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大值		極小值

綜上，
當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{2}$），單調(diào)遞減區(qū)間是（$\frac{1}{2}$，+∞）；
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{2}$）和（$\frac{1}{a}$，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}$）；
當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$）和（$\frac{1}{2}$，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值的方法，以及二次不等式的解法，注意分類討論思想的應(yīng)用．