Question

【題目】正四棱錐P﹣ABCD的底面邊長為2,側棱長為2,過點A作一個與側棱PC垂直的平面α,則平面α被此正四棱錐所截的截面面積為_____,平面α將此正四棱錐分成的兩部分體積的比值為_____.

Answer 1

【答案】 （或2）

【解析】

由已知得△PAC為正三角形,取PC的中點G,得AG⊥PC,且AG.然后證明AG⊥EF,且求得AG與EF的長度,可得截面四邊形的面積；再求出四棱錐P﹣AEGF的體積與原正四棱錐的體積,則平面α將此正四棱錐分成的兩部分體積的比值可求.

解：如圖,

在正四棱錐P﹣ABCD中,由底面邊長為2,側棱長為,

可得△PAC為正三角形,取PC的中點G,得AG⊥PC,且AG.

設過AG與PC垂直的平面交PB于E,交PD于F,連接EF,

則EG⊥PC,FG⊥PC,可得Rt△PGE≌Rt△PGF,得GE＝GF,PE＝PF,

在△PAE與△PAF中,由PA＝PA,PE＝PF,∠APE＝∠APF,得AE＝AF.

∴AG⊥EF.

在等腰三角形PBC中,由PB＝PC＝2,BC＝2,得cos∠BPC,

則在Rt△PGE中,得.

同理PF,則EF∥DB,得到.

∴；

則.

又,

∴平面α將此正四棱錐分成的上下兩部分體積的比為.

故答案為：；（或2）.