如圖，已知焦點在軸上的橢圓經過點，直線
交橢圓于不同的兩點．

（1）求該橢圓的標準方程；
（2）求實數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)，使△是以為直角的直角三角形，若存在，求出的值，若不存，請說明理由．
（1）（2）（3）見解析

試題分析：（1）設出橢圓方程的標準形式，由離心率的值及橢圓過點（4，1）求出待定系數(shù)，得到橢圓的標準方程．
（2）把直線方程代入橢圓的方程，由判別式大于0，求出m的范圍即可；
（3）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在實數(shù)m滿足題意，再利用△ABM為直角三角形，結合向量垂直的條件求出m，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
試題解析：解：（1）依題意，解得，    2分
所以橢圓的標準方程是．      3分
（2）由得，           4分
直線與橢圓有兩個不同的交點，
            6分
解得                          7分
（3）假設存在實數(shù)滿足題意，則由為直角得，        8分
設，，由（2）得，    9分
，   10分
，             11分

             12分
得   13分
因為，
綜上所述，存在實數(shù)使△為直角三角形．    14分
練習冊系列答案
相關習題

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已知橢圓的方程為,其中.
（1）求橢圓形狀最圓時的方程；
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（1）求橢圓的方程；
（2）求的面積的最大值.

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已知橢圓C：()的短軸長為2，離心率為
（1）求橢圓C的方程
（2）若過點M（2,0）的引斜率為的直線與橢圓C相交于兩點G、H，設P為橢圓C上一點，且滿足（為坐標原點），當時，求實數(shù)的取值范圍？

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如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的中心在原點O，右焦點F在x軸上，橢圓與y軸交于A、B兩點，其右準線l與x軸交于T點，直線BF交橢圓于C點，P為橢圓上弧AC上的一點．

(1)求證：A、C、T三點共線；
(2)如果＝3，四邊形APCB的面積最大值為，求此時橢圓的方程和P點坐標．

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若橢圓與雙曲線有相同的焦點，則的值是(　　)
A．B．1或C．1或D．1

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若橢圓的焦點分別為，弦過點，則的周長為
A．B．C．8D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設F1，F(xiàn)2是橢圓=1的左、右兩個焦點，若橢圓上滿足PF1⊥PF2的點P有且只有兩個，則離心率e的值為（   ）
A．B．C．D．.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的右焦點F，左、右準線分別為l1：x＝－m－1，l2：x＝m＋1，且l1、l2分別與直線y＝x相交于A、B兩點．
(1)若離心率為，求橢圓的方程；
(2)當·<7時，求橢圓離心率的取值范圍．

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