Question

10．某公司計(jì)劃在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元．甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘．甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．設(shè)該公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘．
（Ⅰ）用x，y列出滿足條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并在坐標(biāo)系中用陰影表示相應(yīng)的平面區(qū)域；
（Ⅱ）該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做廣告的時(shí)間使公司的收益最大，最大收益是多少？

Answer 1

分析 （I）根據(jù)廣告費(fèi)用和收益列出約束條件，作出可行域；
（II）列出目標(biāo)函數(shù)z=3000x+2000y，根據(jù)可行域判斷最優(yōu)解的位置，列方程組解出最優(yōu)解得出最大收益．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)該公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，
則x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為 $\left\{\begin{array}{l}{x+y≤300}\\{500x+200y≤90000}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤300}\\{5x+2y≤900}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：

（Ⅱ）設(shè)公司的收益為z元，則目標(biāo)函數(shù)為：z=3000x+2000y．
∴y=-$\frac{3}{2}x+\frac{z}{2000}$．
由圖可知，當(dāng)直線y=-$\frac{3}{2}x+\frac{z}{2000}$經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A時(shí)，截距$\frac{z}{2000}$最大，即z最大．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y=300}\\{5x+2y=900}\end{array}\right.$ 得A（100，200），
∴z_max=3000×100+2000×200=700000．
答：該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告使公司的收益最大，最大收益是70萬元．

點(diǎn)評 本題考查了簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，列出約束條件作出可行域是解題關(guān)鍵．