Question

2．桌面上放著3個半徑為2014的球，兩兩相切，在它上方的空隙里放入一個球使其頂點（最高處）恰巧和 3個球的頂點在同一平面上，則該球的半徑等于（　�。�

• A． $\frac{2014}{3}$
• B． $\frac{2014}{9}$
• C． $\frac{4028}{3}$
• D． $\frac{4028}{9}$

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為擺放在桌面上的三個半徑為1的球兩兩相切，在桌面與三球之間的空間中再擺入一個小球與三球和桌面都相切，我們可以分別設(shè)三個半徑為1的球的球心分別為O₁，O₂，O₃，與桌面三個切點分別為A，B，C，構(gòu)造一個正三棱柱，然后解三角形，即可得到答案．

解答 解：問題轉(zhuǎn)化為擺放在桌面上的三個半徑為R的球兩兩相切，在桌面與三球之間的空間中再擺入一個小球與三球和桌面都相切，
設(shè)三個半徑為R的球的球心分別為O₁，O₂，O₃，與桌面三個切點分別為A，B，C，如下圖所示：
則三棱柱ABC-O₁O₂O₃，是一個底面邊長為2R，高為R的正三棱柱，
則小球球心O在底面ABC上的投影必為△ABC的中心H，
設(shè)小球半徑為r，
在△AOH中，AO=r+R，AH=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}R$
則OH=$\sqrt{A{O}^{2}-A{H}^{2}}$，
又r+OH=R，解得r=$\frac{R}{3}$，
所以小球的半徑等于$\frac{2014}{3}$；
故選A．

點評 本題考查的知識點是棱柱的結(jié)構(gòu)特征，其中標(biāo)出關(guān)鍵點，構(gòu)造正三棱柱是解答本題的關(guān)鍵．