Question

（2013•南通二模）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A₁B=2．
（1）求棱AA₁與BC所成的角的大小；
（2）在棱B₁C₁上確定一點P，使二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值為

2 5

5

．

Answer 1

分析：（1）因為AB⊥AC，A₁B⊥平面ABC，所以以A為坐標原點，分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y軸，以過A，且平行于BA₁的直線為z軸建立空間直角坐標系，由AB=AC=A₁B=2求出所要用到的點的坐標，求出棱AA₁與BC上的兩個向量，由向量的夾角求棱AA₁與BC所成的角的大小；
（2）設(shè)棱B₁C₁上的一點P，由向量共線得到P點的坐標，然后求出兩個平面PAB與平面ABA₁的一個法向量，把二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值為

2 5

5

轉(zhuǎn)化為它們法向量所成角的余弦值，由此確定出P點的坐標．

解答：解：（1）如圖，以A為原點，AC、AB所在直線分別為x軸和y軸建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），

AA1

=(0， 2， 2)，

BC

=

B1C1

=(2， -2， 0)．
所以cos＜

AA1

，

BC

＞=

AA1 • BC

| AA1 |•| BC |

=

0×2+2×(-2)+2×0

22+22 • 22+(-2)2

=

-4

8

=-

1

2

，
所以向量

AA1

與

BC

所成的角為

2π

3

，
故AA₁與棱BC所成的角是

π

3

．
（2）設(shè)P為棱B₁C₁上的點，
由

B1P

=λ

B1C1

=(2λ，  -2λ，   0)，得P（2λ，4-2λ，2）．
設(shè)平面PAB的法向量為

n1

=（x，y，z），

AP

=(2λ，  4-2λ，  2)，

AB

=(0，2，0)，
由

n1 • AP =0 n1 • AB =0

，得

x+3y+2z=0 2y=0

，
取x=1，得z=-λ，故

n1

=（1，0，-λ）．
而平面ABA₁的一個法向量是

n2

=（1，0，0），
則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

1+λ2

=

2 5

5

，
解得λ=

1

2

，即P為棱B₁C₁中點，其坐標為P（1，3，2）．

點評：本題考查了異面直線所成的角，考查了二面角的平面角的求法，解答的關(guān)鍵是首先建立正確的空間右手系，然后準確計算出一些點的坐標，此題是中檔題．