Question

8．已知函數(shù)f（x）=（2x-4）e^x+a（x+2）²．（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，不等式f（x）≥4a-4恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（0），f′（0），求出切線方程即可；
（Ⅱ）通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，有f（x）=（2x-4）e^x+（x+2）²，
則f'（x）=（2x-2）e^x+2x+4⇒f'（0）=-2+4=2．-------（3分）
又因?yàn)閒（0）=-4+4=0，-------（4分）
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y-0=2（x-0），即y=2x．-------（6分）
（Ⅱ）因?yàn)閒'（x）=（2x-2）e^x+2a（x+2），令g（x）=f'（x）=（2x-2）e^x+2a（x+2）
有g(shù)'（x）=2x•e^x+2a（x≥0）且函數(shù)y=g'（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增-------（8分）
當(dāng)2a≥0時(shí)，有g(shù)'（x）≥0，此時(shí)函數(shù)y=f'（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增，則f'（x）≥f'（0）=4a-2
（�。┤�4a-2≥0即$a≥\frac{1}{2}$時(shí)，有函數(shù)y=f（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增，
則f（x）_min=f（0）=4a-4恒成立；-------（9分）
（ⅱ）若4a-2＜0即$0≤a＜\frac{1}{2}$時(shí)，則在x∈[0，+∞）存在f'（x₀）=0，
此時(shí)函數(shù)y=f（x）在x∈（0，x₀）上單調(diào)遞減，x∈（x₀，+∞）上單調(diào)遞增且f（0）=4a-4，
所以不等式不可能恒成立，故不符合題意；-------（10分）
當(dāng)2a＜0時(shí)，有g(shù)'（0）=2a＜0，則在x∈[0，+∞）存在g'（x₁）=0，
此時(shí)x∈（0，x₁）上單調(diào)遞減，x∈（x₁，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)y=f'（x）在x∈[0，+∞）上先減后增．
又f'（0）=-2+4a＜0，則函數(shù)y=f（x）在x∈[0，+∞）上先減后增且f（0）=4a-4．
所以不等式不可能恒成立，故不符合題意；-------（11分）
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為$a≥\frac{1}{2}$．-------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．