Question

已知f（x）=x^-k2+k+2（k∈z）滿足f（2）＜f（3）．
①求k及f（x）；
②判斷是否存在q＞0使g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在[-1，2]上的值域為[-4，

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]，若存在求出q；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：冪函數的單調性、奇偶性及其應用,冪函數圖象及其與指數的關系,冪函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：①根據冪函數的性質即可求k及f（x）；
②結合二次函數的定義域和值域之間的關系建立條件關系即可得到結論．

解答： 解：①∵f（2）＜f（3）．
∴函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，
則-k²+k+2＞0，
即k²-k-2＜0，
解得-1＜k＜2，
∵k∈z，∴k=0，或1，
當k=0時，f（x）=x²，
當k=1時，f（x）=x²；
②∵f（x）=x²，
∴g（x）=-qx²+（2q-1）x+1，
∵q＞0，∴g（-1）=2-3q＜2，g（2）=-1，
若存在q＞0使g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在[-1，2]上的值域為[-4，

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]，
則必有g（-1）=2-3q=-4，解得q=2，
此時g（x）=-2x²+3x+1=-2（x-

3

4

）²+

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，
∵x∈[-1，2]，
∴當x=

3

4

時，函數取得最大值

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，
當x=-1時，函數取得最小值-4，此時滿足函數的值域為[-4，

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]，
故存在q=2，使條件成立．

點評：本題主要考查了冪函數的單調性，以及二次函數的值域，同時考查了分析問題的能力．