Question

下列四個命題中，真命題的個數(shù)為（　�。�
①若函數(shù)f（x）=sinx-cosx+1，則y=|f（x）|的周期為2π；
②若函數(shù)f（x）=cos⁴x-sin⁴x，則f′(

π

12

)=-1；
③若角α的終邊上一點P的坐標為(sin

5π

6

，cos

5π

6

)，則角α的最小正值為

5π

3

；
④函數(shù)y=2cos2x的圖象可由函數(shù)y=cos2x+

3

sin2x的圖象向左平移

π

6

個單位得到．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①先對函數(shù)進行整理得到正弦型函數(shù)f（x），而正弦型函數(shù)|f（x）|的周期是f（x）的周期的

1

2

；
②先求三角函數(shù)的導函數(shù)，再將

π

12

代入導函數(shù)即可；
③先要求出P點坐標（

1

2

，-

3

2

），故角的終邊與X軸正半軸夾角為

π

3

，則角α的最小正值為

5π

3

；
④在作圖變換象的題目時，注意由f（x）得到f(x+

π

6

)的圖象是向左平移

π

6

個單位得到，而若由f（2x）得到的f(2x+

π

6

)圖象是向左平移

π

12

個單位得到．

解答：解：①由于f（x）=sinx-cosx+1=sin（x-

π

4

）+1的周期為2π，
y=|f（x）|的周期是y=f（x）的周期的

1

2

，
∴y=|f（x）|的周期是π．故①為假命題．
②∵f（x）=cos⁴x-sin⁴x的導數(shù)為
f′（x）=4cos³x•（-sinx）-4sin³x•cosx=-4cosxsinx
∴f′（x）=-2sin2x，f′（

π

12

）=-2×

1

2

=-1．故②為真命題．
③由于角α的終邊上一點P的坐標為(sin

5π

6

，cos

5π

6

)，則P（

1

2

，-

3

2

）
∴則角α的最小正值為

5π

3

，故③也為真命題．
④由函數(shù)y=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)=2cos(2x-

π

3

)=2cos(2(x-

π

6

))．
函數(shù)y=2cos2x的圖象向右平移

π

6

個單位得到y(tǒng)=2cos(2(x-

π

6

))的圖象．
∴函數(shù)y=2cos2x的圖象可由函數(shù)y=cos2x+

3

sin2x的圖象向左平移

π

6

個單位得到．故④也為真命題．
答案是 C

點評：本題考查的知識點是，判斷命題真假，比較綜合的考查了三角函數(shù)的一些性質(zhì)，我們可以根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)對四個結(jié)論逐一進行判斷，可以得到正確的結(jié)論．y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)是我們最常用的公式．