(本小題滿分12分)
如圖,在直三棱柱
中,
、
分別為
、
的中點。
(I)證明:ED為異面直線
與
的公垂線;
(II)設
求二面角
的大小。
Ⅰ)設O為AC中點,連結EO,BO,則EO
又
,所以EO
DB,
EOBD為平行四邊行,ED∥OB。 ……2分
∵AB=BC,∴RO⊥AC,
又平面ABC⊥平面ACC
1A
1,BO
面ABC,故BO⊥平面ACC
1A
1,
∴ED⊥平面ACC
1A
1,ED⊥AC
1、ED⊥CC
1,
∴ED⊥BB
1,ED為異面直線AC
1與BB
1的公垂線。 ……6分
(Ⅱ)連結A
1E,由AA
1=AC=
AB可知,A
1ACC
1為正方形,
∴A
1E⊥AC
1,又由ED⊥平面A
1ACC
1和ED
平面ADC
1知平面ADC
1⊥平面A
1ACC
1,
∴A
1E⊥平面ADC
1,作EF⊥AD,垂足為F,連結A
1F,則A
1F⊥AD,∠A
1FE為二面角
的平面角。
不妨設AA
1=2,
則AC=2,AB=
,ED=OB=1,EF=
,
∴∠A
1EF=60
O。
所以二面角
為60
O。 ……12分
解法二:
(Ⅰ)如圖,建立直角坐標系O-xyz,其中原點O為AC的中點。
設A(a,0,0),B(0,b,0),B
1(0,b,2c).
則C(
……3分
又
所以ED是異面直線BB
1與AC
1的公垂線。 ……6分
(Ⅱ)不妨設A(1,0,0)
則B(0,1,0),C(-1,0,0),A(1,0,2),
∴ BC⊥面A
1AD.
又
∴ EC⊥面C
1AD. ……10分
的夾角為60
0 所以二面角
為60°。 ……12
練習冊系列答案
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.若
是兩條不同的直線,
是三個不同的平面,給出下列命題:( )
① 若
; ② 若
;
③ 若
; ④ 若
,則
其中正確命題的個數(shù)為( )
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. (本小題滿分10分)如圖,在三棱錐
中,
底面
,點
,
分別在棱
上,且
(Ⅰ)求證:
平面
;
(Ⅱ)當
為
的中點時,求
與平面
所成的角的大;
(Ⅲ)是否存在點
使得二面角
為直二面角?并說明理
由.
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A.90° B.60° C.45° D.30°
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(本小題滿分14分)
1.(本題滿分14分)如圖,矩形
中,
,
,
為
上的點,且
,
.(Ⅰ)求證:
平面
;(Ⅱ)求證:
平面
;(Ⅲ)求三棱錐
的體積.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分9分)如圖,圓錐
中,
為底面圓的兩條直徑,
,且
⊥
,
,
為
的中點.
(Ⅰ)求證:
∥平面
;
(Ⅱ)求圓錐
的表面積;
(Ⅲ)求異面直線
與
所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分13分)如圖,E為矩形ABCD所在
平面外一點,
平面ABE,AE=EB=BC=2,F(xiàn)為
CE是的點,且
平面ACE,
(1)求證:
平面BCE;
(2)求三棱錐C—BGF的體積。
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