Question

9．極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xoy的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4（cosθ+sinθ）．
（Ⅰ）求C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數(shù)）與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，定點(diǎn)E（0，1），求|EA|•|EB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C的極坐標(biāo)方程能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得${t^2}-（\sqrt{3}+2）t-3=0$，由此利用韋達(dá)定理能求出|EA|•|EB|．

解答 解：（Ⅰ）在ρ=4（cosθ+sinθ）中，
兩邊同乘以ρ，得ρ²=4（ρcosθ+ρsinθ），
則C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4x+4y，
即（x-2）²+（y-2）²=8．…（5分）
（Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，
得${t^2}-（\sqrt{3}+2）t-3=0$，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{{t_1}+{t_2}=\sqrt{3}+2}\\{{t_1}{t_2}=-3}\end{array}}\right.$，
則|EA|•|EB|=|t₁t₂|=3…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓、直線方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、兩線段乘積、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．