Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1-a_n=sin

(n+1)π

2

，記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則S₂₀₁₄=（　　）

• A、1006
• B、1007
• C、1008
• D、1009

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由遞推公式分別求出數(shù)列的前5項(xiàng)，推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是一個(gè)以4為周期的周期數(shù)列，由此能求出S₂₀₁₄．

解答：解：∵a_n+1-a_n=sin

(n+1)π

2

，
∴a_n+1=a_n+sin

(n+1)π

2

，
∴a₂=a₁+sinπ=1+0=1，
a3=a2+sin

3

2

π=1+（-1）=0，
a₄=a₃+sin2π=0+0=0，
a5=a4+sin

5π

2

=0+1=1，
∴a₅=a₁，
如此繼續(xù)可得a_n+4=a_n，（n∈N^*），
數(shù)列{a_n}是一個(gè)以4為周期的周期數(shù)列，
∴S₂₀₁₄=503×（a₁+a₂+a₃+a₄）+a₁+a₂
=503×（1+1+0+0）+1+1=1008．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前2014項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列的周期性的合理運(yùn)用．