定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足條件:①對定義域內(nèi)任意實數(shù)a,b,都有f(a+b)=f(a)•f(b);②x>0時,f(x)>1.那么,
(1)試舉出滿足上述條件的一個具體函數(shù);
(2)求f(0)的值;
(3)比較f(1)和f(3)的大小并說明理由.
解:(1)由題意知函數(shù)的性質(zhì)與遞增的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)相同,
故可令f(x)=2x(或f(x)=ax(a>1));(4分)
(2)令a>0,b=0,則f(a)=f(a)•f(0),而f(a)>0,
∴f(0)=1;(4分)
(3)∵f(3)=f(1)+f(2),
∴f(3)-f(1)=f(2)>0,
∴f(1)<f(3)(4分)
分析:(1)由題設條件中所給的函數(shù)的性質(zhì)知此函數(shù)應該是一個遞增的指數(shù)函數(shù),此類函數(shù)易找出;
(2)令a>0,b=0,代入f(a+b)=f(a)•f(b),結(jié)合性質(zhì)②求出f(0)的值,
(3)比較f(1)和f(3)的大小可由f(a+b)=f(a)•f(b),及性質(zhì)②說明理由.
點評:本題考查求函數(shù)的值,解題的關(guān)鍵是理解函數(shù)的兩個性質(zhì),由兩個性質(zhì)對三個小題作出正確判斷.