Question

【題目】已知f（x）=ax3+3x2﹣x+1，a∈R．
（1）當a=﹣3時，求證：f（x）=在R上是減函數；
（2）如果對x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：當a=﹣3時，f（x）=﹣3x3+3x2﹣x+1，

∵f′（x）=﹣9x2+6x﹣1=﹣（3x﹣1）2≤0，

∴f（x）在R上是減函數；

（2）解：∵x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，

即x∈R不等式3ax2+6x﹣1≤4x恒成立，

∴x∈R不等式3ax2+2x﹣1≤0恒成立，

當a≥0時，x∈R，3ax2+2x﹣1≤0不恒成立，

當a＜0時，x∈R不等式3ax2+2x﹣1≤0恒成立，

即△=4+12a≤0，

∴a≤﹣

【解析】（1）把a=﹣3代入函數解析式中確定出f（x）的解析式，求出f（x）的導函數，配方可知導函數恒小于等于0，進而得到f（x）在R上為減函數；（2）求出f（x）的導函數，把求出的導函數代入到已知的不等式中，移項使不等式的右邊為0，左邊為一個二次函數，討論a≥0時，不等式顯然不恒成立；a＜0時，不等式要恒成立，根的判別式△≤0列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到實數a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減才能得出正確答案．