Question

【題目】（本題滿分15分）如圖，在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD， ，，E是BD的中點．

（Ⅰ）求證：EC//平面APD；

（Ⅱ）求BP與平面ABCD所成角的正切值；

（Ⅲ）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明線面平行常用到的思路就是證明平面外的直線平行于平面內的直線（Ⅱ）求BP與平面ABCD所成角首先找到斜線在平面中的射影，找到所求角，通過求解三角形三邊得到角的大小（Ⅲ）利用三垂線定理作出二面角的平面角∠PGH，解三邊即可求得角的正弦值

試題解析：（Ⅰ）如圖，取PA中點F，連結EF、FD，

∵E是BP的中點，∴EF//AB且，

又∵∴EFDC∴四邊形EFDC是平行四邊形，故得EC//FD 2分

又∵EC平面PAD，FD平面PAD∴EC//平面ADE 4分

（Ⅱ）取AD中點H，連結PH，因為PA＝PD，

所以PH⊥AD

∵平面PAD⊥平面ABCD于AD ∴PH⊥面ABCD

∴HB是PB在平面ABCD內的射影 ∴∠PBH是PB與平面ABCD所成角 6分

∵四邊形ABCD中，

∴四邊形ABCD是直角梯形，

設AB=2a，則，在中，易得，

，又∵，

∴是等腰直角三角形，

∴

∴在中， 10分

（Ⅲ）在平面ABCD內過點H作AB的垂線交AB于G點，連結PG，則HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a 11分

，又∴，

在中，

∴二面角P-AB-D的的正弦值為 15分