已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn)為F,離心率為
2
2
,且橢圓上的點(diǎn)到F的最大距離為
2
+1

(I)求橢圓方程;
(II)如圖,過F作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),直線BO交橢圓于另一點(diǎn)C,求|AB|+|AC|的取值范圍.
分析:(Ⅰ)由題意知
e=
c
a
=
2
2
a+c=
2
+1
,及b2=a2-c2,解出即可;
(II)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為my=x+1,與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù),設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則|AC|=2|MO|,
利用兩點(diǎn)間的距離公式和弦長公式可得|AC|+|AB|關(guān)于m的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出.
解答:解:(Ⅰ)由題意知
e=
c
a
=
2
2
a+c=
2
+1

解得:a=
2
,c=1
,∴b=1.
∴橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為my=x+1,
由 
my=x+1
x2
2
+y2=1
 得(m2+2)y2-2my-1=0
,
y1+y2=
2m
m2+2
 , y1y2=-
1
m2+2

設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則|AC|=2|MO|,
y0=
y1+y2
2
=
m
m2+2
, x0=(my0-1)=-
2
m2+2
,
|AC|=2
x02+y02
=
2
m2+4
m2+2
,|AB|=|y1-y2|
1+m2
=
2
2
(1+m2)
m2+2
,
|AB|+|AC|=
2
2
(1+m2)
m2+2
+
2
m2+4
m2+2
=
2
2
(1+m2)+2
m2+4
m2+2

f(m)=
2
2
(1+m2)
m2+2
+
2
m2+4
m2+2
=
2
2
(1+m2)+2
m2+4
m2+2
,
則f′(m)=
2m(2
2
m2+4
-m2-6)
(m2+2)
m2+4
=
-2m(
m2+4
-
2
)
2
(m2+2)
m2+4
,
∴當(dāng)m>0,f'(m)<0;當(dāng)m<0,f'(m)>0,
即f(m)在(-∞,0)上遞增,在(0,+∞)上遞遞減.
∴f(m)在m=0處取得最大值.
f(m)<f(0)=2+
2

f(m)=
2
2
(1+m2)+2
m2+4
m2+2
=2
2
+
2
m2+4
-2
2
m2+2
>2
2

f(m)∈(2
2
,2+
2
)

即|AB|+|AC|的取值范圍是(2
2
,2+
2
)
點(diǎn)評:本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、兩點(diǎn)間的距離公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,左頂點(diǎn)為A,若|F1F2|=2,橢圓的離心率為e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,
(Ⅱ)若P是橢圓上的任意一點(diǎn),求
PF1
PA
的取值范圍
(III)直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M,N(均不是長軸的頂點(diǎn)),AH⊥MN垂足為H且
AH
2
=
MH
HN
,求證:直線l恒過定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(-c,0)是長軸的一個四等分點(diǎn),點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn),記直線AD、BC的斜率分別為k1,k2
(1)當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,直線l⊥x軸時,求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率是
3
2
,且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),直線y=
1
2
x+m(m<0)
與橢圓相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)m=-1時,求△MAB的面積;
(3)求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•威海二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為e=
6
3
,過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M(0,2),直線l:y=1,過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),若N為AB的中點(diǎn),D為N在直線l上的射影,AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P.求證:
ND
MP
AB
2
為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn),若|MN|=3,且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根,求橢圓方程.

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同步練習(xí)冊答案