Question

如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°以AB為直徑的圓O交AC于點E，點D是BC邊的中點，連接OD交圓O于點M．
（1）求證：O、B、D、E四點共圓；
（2）若AB=4，AC=5，DM=1，求DE的長度．

Answer 1

考點：圓的切線的性質(zhì)定理的證明,與圓有關(guān)的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）連接BE、OE，由直徑所對的圓周角為直角，得到BE⊥EC，從而得出DE=BD=

1

2

BC，由此證出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圓內(nèi)接四邊形形的判定定理得到O、B、D、E四點共圓；
（2）延長DO交圓O于點H，由（1）的結(jié)論證出DE為圓O的切線，從而得出DE²=DM•DH，再將DH分解為DO+OH，并利用OH=

1

2

AB，DO=

1

2

AC，可得2DE²=DM•AC+DM•AB，即可求DE的長度．

解答： （1）證明：連接BE、OE，則
∵AB為圓0的直徑，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，
又∵D是BC的中點，
∴ED是Rt△BEC的中線，可得DE=BD．
又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．
可得∠OED=∠OBD=90°，
因此，O、B、D、E四點共圓；
（2）解：延長DO交圓O于點H，
∵DE⊥OE，OE是半徑，∴DE為圓O的切線．
可得DE²=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．
∵OH=

1

2

AB，OD為△ABC的中位線，得DO=

1

2

AC，
∴2DE²=DM•AC+DM•AB．
∵AB=4，AC=5，DM=1，
∴DE2=

9

2

，DE=

3 2

2

．

點評：本題著重考查了圓的切線的性質(zhì)定理與判定、直徑所對的圓周角、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．