Question

7．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=7+t}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)），以該直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系下，曲線C₂的方程ρ=-2cosθ+2sinθ．曲線C₂上任意一點到直線C₁距離的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=7+t}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)），消去t化為普通方程：x-y+6=0．曲線C₂的方程ρ=-2cosθ+2sinθ，即ρ²=-2ρcosθ+2ρsinθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可得出直角坐標(biāo)方程．求出圓心到直線的距離d，即可得出曲線C₂上任意一點到直線C₁距離的最小值=d-r．

解答 解：直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=7+t}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)），消去t化為普通方程：x-y+6=0．
曲線C₂的方程ρ=-2cosθ+2sinθ，即ρ²=-2ρcosθ+2ρsinθ，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=-2x+2y，配方化為：（x+1）²+（y-1）²=2，
可得圓心C₂（-1，1），半徑r=$\sqrt{2}$．
圓心到直線的距離d=$\frac{|-1-1+6|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$
曲線C₂上任意一點到直線C₁距離的最小值=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．