在△ABC中，AB邊上的中線CO=4，若動點P滿足
PA
=sin2
θ
2
OA
+cos2
θ
2
CA
(θ∈R)，則(
PA
+
PB
)•
PC
的最小值是
-8
-8
．
分析：令λ=sin2
θ
2
，0≤λ≤1，可得
PA
=
OA
+（λ-1）
OC
，再由
PA
=
OA
-
OP
 可得-
OP
=（λ-1）
OC
．故要求的式子可化為 2λ（λ-1）•16，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值．
解答：解：令λ=sin2
θ
2
，0≤λ≤1，則1-λ=cos2
θ
2
，
∴
PA
=λ
OA 
+（1-λ）
CA
=
OA
+（λ-1）
OC
．
再由
PA
=
OA
-
OP
 可得-
OP
=（λ-1）
OC
．
故 (
PA
+
PB
)•
PC
=(
OA
+
OB
-2
OP
)•(
OC
-
OP
)=(
OA
+
OB
+(2λ-2)
OC
)•λ
OC

=2
OA
•
OC
+2
OB
•
OC
+2（λ-1）λ
OC
2=2λ（λ-1）•16，
故當λ=
1
2
時，2λ（λ-1）8 取得最小值為-8，
故答案為-8．
點評：本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的運算，二次函數(shù)的性質(zhì)應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=30°，AD是邊BC′上的高，則
AD
•
AC
的值等于（　　）
A、0B、4C、8D、-4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
，
n
的夾角為
π
6
，且|
m
|=
3
，|
n
|=2，在△ABC中，
AB
=
m
+
n
，
AC
=
m
-3
n
，D為BC邊的中點，則|
AD
|=
1
1
；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，AB=
2
3
AC，D、E分別為邊AB、AC的中點，CD與BE相交于點P，
（1）若AB=2，四邊形ADPE的面積記為S（A），試用角A表示出S（A），并求S的最大值；
（2）若
BE
CD
＜t恒成立，求t的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，AB邊所在直線方程是2x-y+3=0，BC邊上的高所在直線方程是x=1，且頂點C的坐標是（3，-1）．
（1）求點A的坐標；
（2）求AC邊所在直線的方程；
（3）求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年廣東省深圳市南山區(qū)高一（上）期末數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

在△ABC中，AB邊所在直線方程是2x-y+3=0，BC邊上的高所在直線方程是x=1，且頂點C的坐標是（3，-1）．
（1）求點A的坐標；
（2）求AC邊所在直線的方程；
（3）求△ABC的面積S．

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