Question

已知使函數(shù)f（x）=x³-ax²+1（0≤a≤M₀）存在整數(shù)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)a恰有3個(gè)，則M₀的取值范圍是________．

Answer 1

．
分析：通過(guò)對(duì)a分類(lèi)討論，令f（x）=0，用x表示a，利用導(dǎo)數(shù)探究其單調(diào)性，找出取得整數(shù)零點(diǎn)的最小的三個(gè)、四個(gè)a 的值即可得出M₀的取值范圍．
解答：①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x³+1=（x+1）（x²-x+1）存在一個(gè)整數(shù)零點(diǎn)-1，滿(mǎn)足條件；
②當(dāng)a≠0時(shí)，∵x=0時(shí)，f（0）=1≠0，∴0不是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
由f（x）=x³-ax²+1=0（x≠0）可得，
令g（x）=，則=，
令g^′（x）=0，解得，列表得：
由表格可知：g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間（-∞，0），上單調(diào)遞增，
畫(huà)出圖象：
當(dāng)x＜0且x≠-1時(shí)，函數(shù)f（x）不存在零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)整數(shù)零點(diǎn)x=1，此時(shí)a=2；
當(dāng)x=時(shí)，不是整數(shù)零點(diǎn)應(yīng)舍去；
當(dāng)時(shí)，最小整數(shù)零點(diǎn)x=2，此時(shí)a=；
比2大1的整數(shù)零點(diǎn)是3，此時(shí)a=．
綜上可知：要滿(mǎn)足函數(shù)f（x）=x³-ax²+1（0≤a≤M₀）存在整數(shù)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)a恰有3個(gè)（即0，2，），則M₀的取值范圍是．
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握分類(lèi)討論的思想方法、利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．