Question

7．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1-x}{x+1}$（a＞0，a≠1）．
（I）求函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解不等式$\frac{1-x}{x+1}＞0$即可得出該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）可先判斷定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后求f（-x），便可得到f（-x）=-f（x），從而得出f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅲ）討論a：0＜a＜1，和a＞1，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，在每種情況下會(huì)得到一個(gè)關(guān)于x的不等式，解不等式即可得出x的范圍，即得出原不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）解$\frac{1-x}{x+1}＞0$，得-1＜x＜1；
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）；
（Ⅱ）∵函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
且$f（-x）=lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}=lo{g}_{a}（\frac{1-x}{1+x}）^{-1}=-lo{g}_{a}\frac{1-x}{1+x}=-f（x）$；
∴f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅲ）∵f（x）＞0，①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$0＜\frac{1-x}{1+x}＜1$；
解得0＜x＜1；
②當(dāng)a＞1時(shí)，$\frac{1-x}{1+x}＞1$；
∴-1＜x＜0．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)定義域的概念及求法，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，以及函數(shù)奇偶性的定義，分式不等式的解法，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．