Question

已知a＞0，函數f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．
（1）當a=1時，求所有使f（x）=x成立的x的值；
（2）當a∈（0，3）時，求函數y=f（x）在閉區(qū)間[1，2]上的最小值；
（3）試討論函數y=f（x）的圖象與直線y=a的交點個數．

Answer 1

解：（1）當a=1時，有x|x-1|+1=x
所以x=-1或x=1；
（2），
1°．當0＜a≤1時，x≥1≥a，這時，f（x）=x²-ax+1，對稱軸，
所以函數y=f（x）在區(qū)間[1，2]上遞增，f（x）_min=f（1）=2-a；
2°．當1＜a≤2時，x=a時函數f（x）_min=f（a）=1；
3°．當2＜a＜3時，x≤2＜a，這時，f（x）=-x²+ax+1，對稱軸，
f（1）=a，f（2）=2a-3，∵（2a-3）-a=a-3＜0
所以函數f（x）_min=f（2）=2a-3；
（3）因為a＞0，所以，
所以y₁=x²-ax+1在[a，+∞）上遞增；y₂=-x²+ax+1在遞增，在上遞減．
因為f（a）=1，所以當a=1時，函數y=f（x）的圖象與直線y=a有2個交點；
又，當且僅當a=2時，等號成立．
所以，當0＜a＜1時，函數y=f（x）的圖象與直線y=a有1個交點；
當a=1時，函數y=f（x）的圖象與直線y=a有2個交點；
當1＜a＜2時，函數y=f（x）的圖象與直線y=a有3個交點；
當a=2時，函數y=f（x）的圖象與直線y=a有2個交點；
當a＞2時，函數y=f（x）的圖象與直線y=a有3個交點．
分析：（1）把a=1代入f（x）=x|x-a|+1，解方程f（x）=x即可求得結果；
（2）去絕對值符號，，對a分情況討論，0＜a≤1時，函數y=f（x）在區(qū)間[1，2]上遞增，求出函數的最小值；當1＜a≤2時，f（x）_min=f（a）=1；
當2＜a＜3時，x≤2＜a，數f（x）_min=f（2）=2a-3；
（3）a＞0時，求出函數在各段上的函數的最值和單調性，即可對a進行分類討論，即可求得結果．
點評：本題考查二次函數在定區(qū)間上的最值問題和函數圖象交點個數等知識，去絕對值求出函數的解析式，并對各段函數的最值的求解是解題的關鍵，考查運算能力和分析解決問題的能力，屬難題．