Question

20．設(shè)定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f'（x），且x⁴f'（x）+3x³f（x）=e^x，$f（3）=\frac{e^3}{81}$，則x＞0時(shí)，f（x）（　�。�

• A． 有極大值，無極小值
• B． 有極小值，無極大值
• C． 既無極大值，又無極小值
• D． 既有極大值，又有極小值

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的極值即可．

解答 解：$f'（x）=\frac{{{e^x}-3{x^3}f（x）}}{x^4}$，
設(shè)h（x）=e^x-3f（x）x³，
則h'（x）=e^x-3[f'（x）x³+3f（x）x²]
=${e^x}-\frac{3}{x}[{f'（x）{x^4}+3f（x）{x^3}}]$
=${e^x}-\frac{3}{x}•{e^x}={e^x}•\frac{x-3}{x}$，
所以h（x）≥h（3）=e³-81f（3）=0，
即f'（x）≥0，因此f（x）在（0，+∞）遞增，既無極大值，又無極小值，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．