Question

2．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，AB∥CD，AB=BC=$\frac{1}{2}$CD，E為AA₁的中點(diǎn)．
（1）證明：BE∥CD₁；
（2）若∠ADC=45°，CD=CC₁，求證：平面EB₁C₁⊥平面EBC．

Answer 1

分析 （1）取CD的中點(diǎn)G，DD₁的中點(diǎn)F，連接BG，F(xiàn)G，EF．依次證明四邊形ABGD，四邊形ADFE，四邊形BGFE是平行四邊形，得出BE∥FG，結(jié)合FG∥CD₁得出結(jié)論；
（2）利用勾股定理逆定理證明BE⊥B₁E，利用等腰三角形性質(zhì)得出BC⊥CD，從而可證BC⊥平面ABE，得出BE⊥BC即BE⊥B₁C₁，從而有BE⊥平面EB₁C₁，故平面EB₁C₁⊥平面EBC．

解答 證明：（1）取CD的中點(diǎn)G，DD₁的中點(diǎn)F，連接BG，F(xiàn)G，EF．
則FG∥CD₁，
∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD=DG，
∴四邊形ABGD是平行四邊形，
∴AD∥BG，AD=BG．
∵E是DD₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是AA₁的中點(diǎn)，AA₁∥DD₁，AA₁=DD₁，
∴DF∥AE，DF=AE，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴EF∥AD，EF=AD，
∴EF∥BG，EF=BG，
∴四邊形BEFG是平行四邊形，
∴BE∥FG，又FG∥CD₁，
∴BE∥CD₁．
（2）∵CG=$\frac{1}{2}$CD=BC，∠BGC=∠ADC=45°，
∴∠BCD=90°，即BC⊥CD，
又AB∥CD，∴BC⊥AB，
∵AA₁⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴AA₁⊥BC，又AB∩AA₁=A，
∴BC⊥平面ABE，又BE?平面ABE，
∴BC⊥BE，又BC∥B₁C₁，
∴BE⊥B₁C₁．
設(shè)AB=1，則A₁B₁=1，AA₁=BB₁=CC₁=CD=2，
∴AE=A₁E=$\frac{1}{2}A{A}_{1}$=1，BE=B₁E=$\sqrt{2}$，
∴BE²+B₁E²=BB₁²，∴BE⊥B₁E，
又B₁E∩B₁C₁=B₁，B₁E?平面EB₁C₁，B₁C₁?平面EB₁C₁，
∴BE⊥平面EB₁C₁，又BE?平面EBC，
∴平面EB₁C₁⊥平面EBC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定定理，線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．