性質(zhì)p:對(duì)于任意的x,y∈R,都有f(x)+f(y)≥2f(
x+y
2
)
.則以下函數(shù)中具有性質(zhì)p的是( 。
分析:當(dāng)f(x)=lgx時(shí),f(x)+f(y)=lgx+lgy=lgxy≤2f(
x+y
2
)=2lg(
x+y
2
)=lg(
x+y
2
)
2
;當(dāng)f(x)=3-x=(
1
3
)
x
時(shí),f(x)+f(y)=(
1
3
)
x
+(
1
3
)
y
≥2
(
1
3
)
x+y
=2f(
x+y
2
);當(dāng)f(x)=x3時(shí),f(x)+f(y)=x3+y3≤2f(
x+y
2
)=2•(
x+y
2
)
3
=
(x+y)3
4
;當(dāng)f(x)=-x2時(shí),f(x)+f(y)=-x2-y2≤2f(
x+y
2
)=-2(
x+y
2
)
2
=-
(x+y) 2
2
解答:解:當(dāng)f(x)=lgx時(shí),
f(x)+f(y)=lgx+lgy=lgxy,
2f(
x+y
2
)=2lg(
x+y
2
)=lg(
x+y
2
)
2

xy≤(
x+y
2
)
2
,
∴f(x)+f(x)≤2f(
x+y
2
),
故A不具有性質(zhì)P.
當(dāng)f(x)=3-x=(
1
3
)
x
時(shí),
f(x)+f(y)=(
1
3
)
x
+(
1
3
)
y
≥2
(
1
3
)
x+y
,
2f(
x+y
2
)=2(
1
3
)
x+y
2
=2
(
1
3
)
x+y
,
∴f(x)+f(x)≥2f(
x+y
2
),
故B具有性質(zhì)P.
當(dāng)f(x)=x3時(shí),
f(x)+f(y)=x3+y3,
2f(
x+y
2
)=2•(
x+y
2
)
3
=
(x+y)3
4
,
∴f(x)+f(x)≤2f(
x+y
2
),
故C不具有性質(zhì)P.
當(dāng)f(x)=-x2時(shí),
f(x)+f(y)=-x2-y2,
2f(
x+y
2
)=-2(
x+y
2
)
2
=-
(x+y) 2
2
,
∴f(x)+f(x)≤2f(
x+y
2
),
故D不具有性質(zhì)P.
故選B.
點(diǎn)評(píng):本題考查不等式的大小比較,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用,恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用均值定理和基本不等式進(jìn)行解題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合P是滿足下述性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:存在非零常數(shù)M,對(duì)于任意的x∈R,都有f(x+M)=-Mf(x)成立.
(1)設(shè)函數(shù)g(x)=sinπx,試證明:g(x)∈P;(2)當(dāng)M=1時(shí),試說明函數(shù)f(x)的一個(gè)性質(zhì),并加以證明;
(3)若函數(shù)h(x)=sinωx∈P,求實(shí)數(shù)ω的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知集合P是滿足下述性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:存在非零常數(shù)M,對(duì)于任意的x∈R,都有f(x+M)=-Mf(x)成立.
(1)設(shè)函數(shù)g(x)=sinπx,試證明:g(x)∈P;(2)當(dāng)M=1時(shí),試說明函數(shù)f(x)的一個(gè)性質(zhì),并加以證明;
(3)若函數(shù)h(x)=sinωx∈P,求實(shí)數(shù)ω的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

性質(zhì)p:對(duì)于任意的x,y∈R,都有f(x)+f(y)≥2f(
x+y
2
)
.則以下函數(shù)中具有性質(zhì)p的是( 。
A.y=lgxB.y=3-xC.y=x3D.y=-x2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知集合P是滿足下述性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:存在非零常數(shù)M,對(duì)于任意的x∈R,都有f(x+M)=-Mf(x)成立.
(1)設(shè)函數(shù)g(x)=sinπx,試證明:g(x)∈P;(2)當(dāng)M=1時(shí),試說明函數(shù)f(x)的一個(gè)性質(zhì),并加以證明;
(3)若函數(shù)h(x)=sinωx∈P,求實(shí)數(shù)ω的取值范圍.

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