Question

已知集合A={x|（x-2）（x-3a-1）＜0}，函數(shù)y=lg

2a-x

x-(a2+1)

的定義域?yàn)榧�合B．
（1）若4∉B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求使B⊆A的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)真數(shù)大于0，由原題函數(shù)解析式列出不等式，變形后利用兩數(shù)相除商為負(fù)，得到乘積為負(fù)，由基本不等式判斷2a與a²+1的大小，根據(jù)B不是空集，確定出函數(shù)的定義域，即為集合B，根據(jù)4不屬于B，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍；
（2）由集合A中的不等式（x-2）（x-3a-1）＜0知，對(duì)應(yīng)方程的根為x₁=2，x₂=3a+1，根據(jù)B為A的子集及兩集合中的不等式的端點(diǎn)大小關(guān)系列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍．

解答：解：（1）由

2a-x

x-(a2+1)

＞0，得到（x-2a）（x-a²-1）＜0，
∵2a≤a²+1且B非空，
∴B=（2a，a²+1），（a≠1），
∵4∉B，
∴4≤2a或a²+1≤4，
則a≥2或-

3

≤a＜1或1＜a≤

3

；
（2）由（x-2）（x-3a-1）＜0知，對(duì)應(yīng)方程的根為x₁=2，x₂=3a+1，
∵B⊆A，∴

2≤2a a2+1≤3a+1 2＜3a+1

或

3a+1＜2 3a+1≤2a a2+1≤2

，
則a的范圍為1＜a≤3或a=-1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次不等式的解法，集合包含關(guān)系的判斷及應(yīng)用，以及函數(shù)定義域及求法，是一道中檔題．