Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+ax-2}$，其中a＞0，若存在實(shí)數(shù)x₀∈[1，2]，使f[f（x₀）]=x₀，則a的取值范圍是（0，3-e]．

Answer 1

分析 根據(jù)反函數(shù)的定義將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再將解方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而求出a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+ax-2}$，其中a＞0，
若存在實(shí)數(shù)x₀∈[1，2]，使f[f（x₀）]=x₀，
則存在x₀∈[1，2]，使得f（x₀）=f^-1（x₀），
即函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f^-1（x）在[1，2]上有交點(diǎn)；
∵f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+ax-2}$（a＞0）在[1，2]上為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f^-1（x）在[1，2]的交點(diǎn)在直線y=x上，
即函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f^-1（x）的交點(diǎn)就是f（x）與y=x的交點(diǎn)；
令：$\sqrt{{e}^{x}+ax-2}$=x，則方程在[1，2]上一定有解，
∴a=$\frac{{x}^{2}+2{-e}^{x}}{x}$，
設(shè)g（x）=x²+2-e^x，x∈[1，2]；
則g′（x）=2x-e^x＜0，∴g（x）在x∈[1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，
∴a的最小值為$\frac{4+2{-e}^{2}}{2}$=3-$\frac{{e}^{2}}{2}$＜0，最大值為3-e；
綜上，a的取值范圍是（0，3-e]．
故答案為：（0，3-e]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)與方程以及導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用問(wèn)題，屬于難題．