Question

等邊三角形的邊長為3，點、分別是邊、上的點，且滿足（如圖1）．將△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，連結、 （如圖2）．

（1）求證：平面；

（2）在線段上是否存在點，使直線與平面所成的角為？若存在，求出的長，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）存在，且.

【解析】

試題分析：（1）這是一個證明題，先用利用余弦定理在求出的長度，結合勾股定理證明，從而在折疊后對應地有，然后利用平面平面，結合平面與平面垂直的性質定理證明平面；（2）方法1是利用（1）中的提示條件說明平面，

然后再過點作，便可以得到平面，從而為直線與平面所成的角，進而圍繞的長度進行計算；方法2是利用空間向量法，先假設點的坐標，利用（1）中的提示條件說明平面，將視為平面的一個法向量，然后利用確定點的坐標，進而計算的長度.

試題解析：證明：（1）因為等邊△的邊長為3，且，

所以，．

在△中，，

由余弦定理得．

因為，所以．

折疊后有．                                2分

因為二面角是直二面角，所以平面平面．           3分

又平面平面，平面，，

所以平面．                               4分

（2）解法1：假設在線段上存在點，使直線與平面所成的角為．

如圖，作于點，連結、．      5分

由（1）有平面，而平面，

所以．                   6分

又，

所以平面．                               7分

所以是直線與平面所成的角．                     8分

設，則，．                   9分

在△中，，所以．                  10分

在△中，，．                     11分

由，

得．                            12分

解得，滿足，符合題意．                       13分

所以在線段上存在點，使直線與平面所成的角為，此時．   14分

解法2：由（1）的證明，可知，平面．

以為坐標原點，以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標系如圖．                       5分

設，

則，，．         6分

所以，，．    7分

所以．                             8分

因為平面，

所以平面的一個法向量為．                    9分

因為直線與平面所成的角為，

所以                               10分

，                       11分

解得．                                    12分

即，滿足，符合題意．                     13分

所以在線段上存在點，使直線與平面所成的角為，此時．   14分

考點：直線與平面垂直、余弦定理、直線與平面所成的角、空間向量