Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x²+y²=4和直線l：x=4，M為l上一動點，A₁，A₂為圓C與x軸的兩個交點，直線MA₁，MA₂與圓C的另一個交點分別為P、Q．
（1）若M點的坐標為（4，2），求直線PQ方程；
（2）求證直線PQ過定點，并求出此定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）求出A₁，A₂的坐標，可求直線MA₁的方程、直線MA₂的方程，與圓的方程聯(lián)立，求出P，Q的坐標，由兩點式求直線PQ方程；
（2）設(shè)M（4，t），則直線MA₁的方程：y=

t

6

(x+2)，直線MA₂的方程：y=

t

2

(x-2)，分別代入圓的方程，求出P，Q的坐標，分類討論，確定直線PQ的方程，即可得出結(jié)論．

解答：（1）解：當M（4，2），
則A₁（-2，0），A₂（2，0）．
直線MA₁的方程：x-3y+2=0，
解

x2+y2=4 x-3y+2=0

得P(

8

5

，

6

5

)．
直線MA₂的方程：x-y-2=0，
解

x2+y2=4 x-y-2=0

得Q（0，-2），
由兩點式可得直線PQ的方程為2x-y-2=0；
（2）證明：設(shè)M（4，t），則直線MA₁的方程：y=

t

6

(x+2)，直線MA₂的方程：y=

t

2

(x-2)
由

y= t 6 (x+2) x2+y2=4

得P(

72-2t2

36+t2

，

24t

36+t2

)
由

y= t 2 (x-2) x2+y2=4

得Q(

2t2-8

4+t2

，

-8t

4+t2

)
當t≠±

3

時，kPQ=

8t

12-t2

，
則直線PQ：y+

8t

4+t2

=

8t

12-t2

(x-

2t2-8

4+t2

)
化簡得y=

8t

12-t2

x-

8t

12-t2

，恒過定點（1，0）
當t=±

3

時，P(1，±

3

)，Q(1，?

3

)，直線PQ：x=1，恒過定點（1，0）
故直線PQ過定點（1，0）．…（12分）

點評：本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線恒過定點，考查學生的計算能力，屬于中檔題．