Question

14．已知函數(shù)$f（x）=ln（kx）+\frac{1}{x}-k（k＞0）$．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對任意$x∈[\frac{1}{k}，\frac{2}{k}]$，都有xln（kx）-kx+1≤mx，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為m≥f（x）_max，通過討論k的范圍，求出f（x）的最大值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：由已知得，f（x）的定義域為（0，+∞）．
（Ⅰ）$f'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，．
令f'（x）＞0，得x＞1，令f'（x）＜0，得0＜x＜1．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞），
（Ⅱ）由xln（kx）-kx+1≤mx，
得$ln（kx）+\frac{1}{x}-k≤m$，即m≥f（x）_max．
由（Ⅰ）知，
（1）當k≥2時，f（x）在$[\frac{1}{k}，\frac{2}{k}]$上單調(diào)遞減，所以$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{k}）=0$，所以m≥0；．
（2）當0＜k≤1時，f（x）在$[\frac{1}{k}，\frac{2}{k}]$上單調(diào)遞增，所以$f{（x）_{max}}=f（\frac{2}{k}）=ln2-\frac{k}{2}$，
所以$m≥ln2-\frac{k}{2}$；
（3）當1＜k＜2時，f（x）在$[\frac{1}{k}，1）$上單調(diào)遞減，在$（1，\frac{2}{k}]$上單調(diào)遞增，
所以$f{（x）_{max}}=max\left\{{f（\frac{1}{k}），f（\frac{2}{k}）}\right\}$．
又$f（\frac{1}{k}）=0$，$f（\frac{2}{k}）=ln2-\frac{k}{2}$，
①若$f（\frac{2}{k}）≥f（\frac{1}{k}）$，即$ln2-\frac{k}{2}≥0$，所以1＜k＜2ln2，此時$f{（x）_{max}}=f（\frac{2}{k}）=ln2-\frac{k}{2}$，
所以$m≥ln2-\frac{k}{2}$．
②若$f（\frac{2}{k}）＜f（\frac{1}{k}）$，即$ln2-\frac{k}{2}＜0$，所以2ln2≤k＜2，此時f（x）_max=0，所以m≥0
綜上所述，當k≥2ln2時，m≥0；
當0＜k＜2ln2時，$m≥ln2-\frac{k}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．