在三棱錐S—ABC中,△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分別為AB、SB的中點(diǎn).
(1)證明:AC⊥SB;
(2)求二面角N—CM—B的大小;
(3)求點(diǎn)B到平面CMN的距離.
解:(1)取AC中點(diǎn)D,連結(jié)SD、DB.
∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SD且AC⊥BD,
∴AC⊥平面SDB,又SB平面SDB,∴AC⊥SB-----------------------------4分
(2)∵AC⊥平面SDB,AC平面ABC,
∴平面SDB⊥平面ABC.
過(guò)N作NE⊥BD于E,NE⊥平面ABC,
過(guò)E作EF⊥CM于F,連結(jié)NF,
則NF⊥CM.
∴∠NFE為二面角N-CM-B的平面角---------------------------------------6分
∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.
∵SN=NB,∴NE=SD=
=
=
,且ED=EB.
在正△ABC中,由平幾知識(shí)可求得EF=MB=
,
在Rt△NEF中,tan∠NFE==2
,
∴二面角N—CM—B的大小是arctan2-----------------------------------8分
(3)在Rt△NEF中,NF==
,
∴S△CMN=CM·NF=
,S△CMB=
BM·CM=2
--------------10分
設(shè)點(diǎn)B到平面CMN的距離為h,
∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB,∴S△CMN·h=
S△CMB·NE,
∴h==
.即點(diǎn)B到平面CMN的距離為
-----------12分
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