Question

1．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右頂點(diǎn)為E，過雙曲線的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與該雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，若∠AEB=90°，則該雙曲線的離心率e是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$或2
• D． 不存在

Answer 1

分析 求得雙曲線的右頂點(diǎn)，設(shè)出左焦點(diǎn)，將x=-c代入雙曲線方程，求得交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再由題意可得k_AE•k_BE=-1，運(yùn)用斜率公式和離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線的右頂點(diǎn)為E（a，0），
設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為（-c，0），
將x=-c代入雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，
可得y²=b²（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，
即y=±$\frac{^{2}}{a}$，
即有A（-c，$\frac{^{2}}{a}$），B（-c，-$\frac{^{2}}{a}$），
由∠AEB=90°，可得k_AE•k_BE=-1，
即為$\frac{\frac{^{2}}{a}}{-c-a}$•$\frac{-\frac{^{2}}{a}}{-c-a}$=-1，
化為a（c+a）=b²，
由b²=c²-a²=（c-a）（c+a），
可得c-a=a，即c=2a，
則e=$\frac{c}{a}$=2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，注意運(yùn)用方程思想和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．