Question

拋物線P：x²=2py上一點Q（m，2）到拋物線P的焦點的距離為3，A、B、C、D為拋物線的四個不同的點，其中A、D關(guān)于y軸對稱，D（x，y），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），-x＜x₁＜x＜x₂，直線BC平行于拋物線P的以D為切點的切線．
（1）求p的值；
（2）證明：∠BAC的角平分線在直線AD上；
（3）D到直線AB、AC的距離分別為m、n，且m+n=，△ABC的面積為48，求直線BC的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由|QF|=3=2+，能求出p．
（2）由拋物線方程為x²=4y，知A（），D（），B（），C（），由，知，由此能推導(dǎo)出∠BAC的角平分線在直線AD上．
（3）設(shè)∠BAD=∠CAD=α，則m=n=|AD|sinα，．由此能推導(dǎo)出直線BC的方程．
解答：解：（1）∵|QF|=3=2+∴p=2（2分）
（2）∴拋物線方程為x²=4y
A（），D（），B（），C（）∵
∴∴x₁+x₂=2x∵
∴
所以直線AC和直線AB的傾斜角互補(bǔ)，所以∠BAD=∠CAD∴∠BAC的角平分線在直線AD上（6分）
（3）設(shè)∠BAD=∠CAD=α
則m=n=|AD|sinα∴，∵∴即
把l_AC：與拋物線方程x²=4y聯(lián)立的x²-4x-4x-x²=0∴-xx₂=-4x-x²∴x₂=x+4
同理可得x₁=x-4∵-x＜x-4＜x∴x＞2∴
∴x=4（10分）∴B（0，0）∴l(xiāng)_BC：y=2x（12分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．