Question

15．定義在（0，$\frac{π}{2}$）上的函數(shù)f（x）的導數(shù)為f′（x），且恒有f（x）+f′（x）•tanx＞0成立，則（　　）

• A． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）
• B． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＞f（$\frac{π}{6}$）
• C． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜2f（$\frac{π}{6}$）
• D． f（$\frac{π}{4}$）＞$\frac{1}{2}$f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 把給出的等式變形得到[f（x）sinx]′＞0，由此聯(lián)想構(gòu)造輔助函數(shù)，即可得到答案．

解答 解：因為x∈（0，$\frac{π}{2}$），所以sinx＞0，cosx＞0，
由f（x）+f′（x）•tanx＞0，得f（x）cosx+f′（x）sinx＞0，
即[f（x）sinx]′＞0．
∴g（x）=f（x）sinx在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上為增函數(shù)，
則g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{4}$）＜g（1）＜g（$\frac{π}{3}$），
即f（$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$＜f（$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$＜f（1）sin1＜f（$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
對照選項，可得B正確，
故選：B．

點評 本題考查了導數(shù)的運算法則，考查了利用函數(shù)導函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)構(gòu)造法，屬中檔題型．