Question

在△ABC內(nèi)求一點(diǎn)P,使AP²+²+²的值最小.

Answer 1

思路點(diǎn)撥:運(yùn)用向量來(lái)處理,就要把問(wèn)題用向量表示出來(lái),AP²+²+²可轉(zhuǎn)化為向量模的平方來(lái)處理,而模的平方又可轉(zhuǎn)化為數(shù)量積,所以可選定一組基底來(lái)處理.

解:設(shè)=a,=b,=p,則=p-a,=p-b,

于是AP²+BP²+CP²=(p-a)²+(p-b)²+p²=3p²-2(a+b)·p+a²+b²=3［p-(a+b)］²+a²+b²-(a+b)²,

∴當(dāng)p=(a+b)時(shí),²+²+²取最小值.記D為的中點(diǎn),則a+b=2,于是=,

∴C、P、D三點(diǎn)共線且P點(diǎn)是△ABC的重心時(shí),²+²+²取最小值,即AP²+BP²+CP²的值最小.

［一通百通］此類(lèi)題目主要考查向量法處理平面幾何問(wèn)題,關(guān)鍵是如何用向量表示出幾何元素,然后通過(guò)向量的運(yùn)算得出向量關(guān)系,再轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題.此題實(shí)質(zhì)上是把三角形兩邊表示的向量作一組基底來(lái)處理.用向量法處理幾何問(wèn)題還可以用坐標(biāo)法.