【題目】有人玩擲均勻硬幣走跳棋的游戲，棋盤上標(biāo)有第0站（出發(fā)地），第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子開始在出發(fā)地，棋手每擲一次硬幣，這枚棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出正向，棋子向前跳一站，若擲出反面，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（獲勝）或跳到第100站（失�。⿻r(shí)，該游戲結(jié)束. 設(shè)棋子跳到第站的概率為.

（1）求，，，并根據(jù)棋子跳到第站的情況寫出與、的遞推關(guān)系式（）；

（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（3）求玩該游戲獲勝的概率.

【答案】（1），，，；（2）見解析；（3）.

【解析】

(1)棋子開始在第0站是必然事件，；棋子跳到第1站，;棋子跳到第2站，有兩種情況，是互斥事件，分別求出，相加即可；依題意知，棋子跳到第（）站有兩種情況：棋子先跳到站和棋子先跳到站,它們是互斥事件，根據(jù)互斥事件的加法公式即得， （2）要證明數(shù)列為等比數(shù)列，需證明是常數(shù)，

將兩邊同減去，構(gòu)成即可；

（3）由（2）知，得，將的前99項(xiàng)相加即可

解：（1）棋子開始在第0站是必然事件，；

棋子跳到第1站，只有一種情況，第一次擲硬幣正面向上，其概率為；

棋子跳到第2站，有兩種情況，

①第一次擲硬幣反面向上，其概率為；

②前兩次擲硬幣都是正面向上，其概率為；

依題意知，棋子跳到第（）站有兩種情況：

第一種，棋子先跳到站，又?jǐn)S出反面，其概率為；

第二種，棋子先跳到站，又?jǐn)S出正面，其概率為.

∴

故有： ，，，.

（2）由（1）知，，

，又，

數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

（3）由（2）知，，

∴

.

∴玩該游戲獲勝的概率為

故答案為：.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.

（1）求證：；

（2）若對(duì)于任意，恒成立，求的取值范圍；

（3）若存在，使，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某城市的華為手機(jī)專賣店對(duì)該市市民使用華為手機(jī)的情況進(jìn)行調(diào)查.在使用華為手機(jī)的用戶中，隨機(jī)抽取100名，按年齡(單位:歲）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的頻率分布直方圖如圖：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，分別求出樣本的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和中位數(shù)的估計(jì)值(均精確到個(gè)位）；

（2）在抽取的這100名市民中，按年齡進(jìn)行分層抽樣，抽取20人參加華為手機(jī)宣傳活動(dòng)，再?gòu)倪@20人中年齡在和的人群里，隨機(jī)選取2人各贈(zèng)送一部華為手機(jī)，求這2名市民年齡都在內(nèi)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是.

（1）寫出的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為和，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，射線與曲線相交于點(diǎn)，射線與曲線相交于點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校為了了解全校學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”的情況，從全校1000名學(xué)生中隨機(jī)選出40名學(xué)生，參加“體能達(dá)標(biāo)”預(yù)測(cè)，并且規(guī)定“體能達(dá)標(biāo)”預(yù)測(cè)成績(jī)小于60分的為“不合格”，否則為“合格”若該校“不合格”的人數(shù)不超過總?cè)藬?shù)的，則全校“體能達(dá)標(biāo)”為“合格”；否則該校“體能達(dá)標(biāo)”為“不合格”，需要重新對(duì)全校學(xué)生加強(qiáng)訓(xùn)練現(xiàn)將這40名學(xué)生隨機(jī)分為甲、乙兩個(gè)組，其中甲組有24名學(xué)生，乙組有16名學(xué)生經(jīng)過預(yù)測(cè)后，兩組各自將預(yù)測(cè)成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析如下：甲組的平均成績(jī)?yōu)?/span>70，標(biāo)準(zhǔn)差為4；乙組的平均成績(jī)?yōu)?/span>80，標(biāo)準(zhǔn)差為6（題中所有數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù)）.

（1）求這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差；

（2）假設(shè)該校學(xué)生的“體能達(dá)標(biāo)”預(yù)測(cè)服從正態(tài)分布用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值.利用估計(jì)值估計(jì)：該校學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”預(yù)測(cè)是否“合格”？

附：①個(gè)數(shù)的平均數(shù)，方差；

②若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，恒有成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了保障某治療新冠肺炎藥品的主要藥理成分在國(guó)家藥品監(jiān)督管理局規(guī)定的值范圍內(nèi)，武漢某制藥廠在該藥品的生產(chǎn)過程中，檢驗(yàn)員在一天中按照規(guī)定從該藥品生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取20件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，測(cè)量其主要藥理成分含量（單位：mg）.根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條藥品生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的主要藥理成分含量服從正態(tài)分布N（μ，σ2）.在一天內(nèi)抽取的20件產(chǎn)品中，如果有一件出現(xiàn)了主要藥理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的藥品，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

（1）下面是檢驗(yàn)員在2月24日抽取的20件藥品的主要藥理成分含量：

10.02

9.78

10.04

9.92

10.14

10.04

9.22

10.13

9.91

9.95

10.09

9.96

9.88

10.01

9.98

9.95

10.05

10.05

9.96

10.12

經(jīng)計(jì)算得xi＝9.96，s0.19；其中xi為抽取的第i件藥品的主要藥理成分含量，i＝1，2，…，20.用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？

（2）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示某天抽取的20件產(chǎn)品中其主要藥理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的藥品件數(shù)，求/span>P（X＝1）及X的數(shù)學(xué)期望.

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974，0.997419≈0.95.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐PABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;

（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明，下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實(shí)，圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色其面積稱為朱實(shí)，黃實(shí)，利朱用2×勾×股+（股-勾）2=4×朱實(shí)+黃實(shí)=弦實(shí)，化簡(jiǎn)得勾2+股2=弦2，設(shè)勾股中勾股比為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1000顆圖釘（大小忽略不計(jì)），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為( )

A.886B.500C.300D.134

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同步練習(xí)冊(cè)答案