Question

已知函數(shù)f(x)=|x-a|+

1

x

(x＞0)，欲使f(x)≥

1

2

恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：先將不等式f(x)≥

1

2

等價轉(zhuǎn)化為|x-a|≥

1

2

-

1

x

，再討論

1

2

-

1

x

的正負(fù)，分別解決恒成立問題，最后將所得結(jié)果求并集即可

解答：解：f(x)≥

1

2

?|x-a|≥

1

2

-

1

x

．
當(dāng)

1

2

-

1

x

≥0，即x≥2時．
a-x≥

1

2

-

1

x

或a-x≤-

1

2

+

1

x

，a≥x-

1

x

+

1

2

或a≤x+

1

x

-

1

2

．
x-

1

x

+

1

2

在[2，+∞）上有最小值2，無最大值，故滿足a≥x-

1

x

+

1

2

的a值不存在．
又x+

1

x

-

1

2

的區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減．在[1，+∞）上單調(diào)遞增，由于x≥2，因此當(dāng)x=2時x+

1

x

-

1

2

取得最小值，其值為2，因此a≤2．
當(dāng)

1

x

-

1

2

＜0，即0＜x＜2時，滿足不等式|x-a|≥

1

2

-

1

4

的a的取值范圍為R．
綜上，欲使f（x）≥

1

2

恒成立，則a的取值范圍為（-∞，2]

點評：本題考察了利用函數(shù)解決不等式恒成立問題的方法，解題時要先將不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，即將一個恒成立問題轉(zhuǎn)化為幾個恒成立問題．